Question

使函数f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)的图象关于原点对称，且满足对于[0，

π

4

]内任意两个数x₁，x₂，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0的θ的一个取值可以是（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  5π

  3

• C．

  4π

  3

• D．

  2π

  3

Answer 1

分析：函数f（x）图象关于原点对称，满足f（0）=0，算出tanθ=-

3

，得θ=

2π

3

+kπ（k∈Z）．再根据函数f（x）区间[0，

π

4

]内恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，得函数f（x）为减函数，利用辅助角公式并结合函数y=Asin（ωx+φ）的性质讨论f（x）的单调减区间，即可得到取k=0，得θ=

2π

3

时满足题设的两个条件．

解答：解：∵函数f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)的图象关于原点对称，
∴函数f（x）是奇函数，满足f（0）=sinθ+

3

cosθ=0，
得tanθ=-

3

，θ=

2π

3

+kπ，k∈Z
∵f(x)=sin(2x+θ)+

3

cos(2x+θ)=2sin（2x+θ+

π

3

）
满足在区间[0，

π

4

]内恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，即函数为减函数
∴θ+

π

3

≤2x+θ+

π

3

≤θ+

5π

6

，
令t=2x+θ+

π

3

，得集合M={t|θ+

π

3

≤t≤θ+

5π

6

}，且M?[

π

2

+2mπ，

3π

2

+2mπ]，m∈Z．
由此可得：取k=m=0，得θ=

2π

3

，M=[π，

3π

2

}满足题设的两个条件
故选：D

点评：本题给出三角函数的图象关于原点对称，并且在已知一个单调减区间的情况下求参数的值，着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变形和函数的单调性等知识，属于中档题．