Question

【题目】如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧棱 ，底面 为直角梯形，其中 为 中点.

（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（3）线段 上是否存在 ，使得它到平面 的距离为 ？若存在，求出 的值.

Answer 1

【答案】
（1）证明：在 中 为 中点，所以 .
又侧面 底面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：连接 ，

在直角梯形 中， ，有 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 .
由（1）知 为锐角，
所以 是异面直线 与 所成的角，
因为 ，在 中， ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
（3）解：假设存在点 ，使得它到平面的距离为 .
设 ，则 ，由（2）得 ，
在 中， ，
所以 ，
由 得 ，所以存在点 满足题意，此时
【解析】（1）由线面垂直的判定可知，只要证明直线PO垂直平面ABCD中两条相交线即可证明。
（2）根据题意可知，将两条异面直线PB、CD平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是所形成的角，再用余弦定理即可求出。
（3）根据V P D Q C = V Q P C D的性质，即可求出。