Question

【题目】证明
（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证： + ＞ +
（2）设x＞﹣1，m∈N* ， 用数学归纳法证明：（1+x）m≥1+mx．

Answer 1

【答案】
（1）证明：方法一：用综合法

+ ﹣ ﹣ =

= = ＞0，

所以 + ＞ + ．

方法二：用分析法

要证 + ＞ + ，

只要证 + +2 ＞a+b+2 ，

即要证a3+b3＞a2b+ab2，

只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），

即需证a2﹣ab+b2＞ab，

只需证（a﹣b）2＞0，

因为a≠b，所以（a﹣b）2＞0恒成立，

所以 + ＞ + 成立

（2）证明①当m=1时，原不等式成立；

当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，

因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；

②假设当m=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，

即（1+x）k≥1+kx，则当m=k+1时，

因为x＞﹣1，所以1+x＞0．

于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同时乘以1+x得

（1+x）k（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2

≥1+（k+1）x．

所以（1+x）/span>k+1≥1+（k+1）x，

即当m=k+1时，不等式也成立．

综合①②知，对一切正整数m，不等式都成立

【解析】（1）方法一，用综合法，即利用作差法；方法二，分析法，两边平方法；（2）要证明当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx，我们要先证明m=1时，（1+x）m≥1+mx成立，再假设m=k时，（1+x）m≥1+mx成立，进而证明出m=k+1时，（1+x）m≥1+mx也成立，即可得到对于任意正整数m：当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx．
【考点精析】掌握不等式的证明和数学归纳法的定义是解答本题的根本，需要知道不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．