Question

【题目】笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀（每刀100张），公司按照某种质量标准值给宣纸确定质量等级，如下表所示：

公式在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.

（1）估计该公式生产宣纸的年利润（单位：万元）；

（2）该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值的频率，如下表所示：

其中为改进工艺前质量标准值的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）400万元；（2）应该购买，理由见解析

【解析】

（1）由频率分布直方图求得张宣纸中各类宣纸的数量，结合每种宣纸的盈亏即可容易求得结果；

（2）由频率分布直方图求得，即可求得各区间的频率分布，据此即可求得结果.

（1）由频率分布直方图可知，一刀（100张）宣纸中有正牌宣纸100×0.1×4=40张，

有副牌宣纸100×0.05×4×2=40张，

有废品100×0.025×4×2=20张，

所以该公司一刀宣纸的年利润为40×10+40×5+20×（-10）=400元，

所以估计该公式生产宣纸的年利润为400万元;

(2) 由频率分布直方图可得

这种机器生产的宣纸质量指标的频率如下表所示：

则一刀宣纸中正牌的张数为100×0.6826=68.26张，

副牌的张数约为100×（0.9544－0.6826）=27.18张，

废品的张数约为100×（1－0.9544）=4.56张，

估计一刀宣纸的利润为：68.26×（10－2）+27.18×（5－2）+4.56×9（－10）=582.02，

因此改进工艺后生产宣纸的利润为582.02－100=482.02元，

因为482.02>400，所以该公式应该购买这种设备.