Question

【题目】如图1，在多边形中，四边形为等腰梯形，，，，四边形为直角梯形，，．以为折痕把等腰梯形折起，使得平面平面，如图2所示．

（1）证明：平面．

（2）求直线与平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）取的中点，连接，可证明及，由线面垂直的判定定理证明平面．

（2）以为轴，其中轴，轴分别在平面平面中，且与垂直，垂足为建立空间直角坐际系．写出各个点的坐标，并求得平面的法向量，即可由法向量法求得直线与平面所成角的正弦值，进而求得直线与平面所成角的正切值．

（1）证明：取的中点，连接，如下图所示：

，，

由四边形为菱形，可知，

在中，在，

所以．

又平面平面，平面平面，，，

所以，平面，

所以平面，平面，

所以，又因为，

所以平面．

（2）由平面平面，如图取的中点为，以为原点，以为轴，其中轴，轴分别在平面平面中，且与垂直，垂足为建立空间直角坐际系．

因为，，，，，，．

设平面的法向量，则，即，

不妨令，得．

设直线与平面所成的角为，则，

所以．