Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间及极值；

（3）对成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为,极小值为，无极大值；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由题意切点为,求导可得斜率,即可写出切线方程；（2）对函数求导,判断导函数的正负情况,写出单调区间及极值；（3）对成立，即，构造函数

,求导分别对和分类讨论,单调递增舍去,时再按和分两种情况分别研究单调性和最值,比较最值和的大小关系,求出的范围．

试题解析：解：（1）由题意知的定义域为且，

又∵，

故切线方程为．

（2），

，

当时，则，

此时在上单调递减．

当时，则，此时，

在上单调递增．

故在单调递减区间为，单调递增区间为．

当时，取极小值，且极小值为-2，无极大值

（3）对成立，即，

令，

则当时，恒成立．

因为．

①当时，，在上单调递增，故，

这与恒成立矛盾

②当时，二次方程的判别式，令，解得，此时在上单调递减．

故，满足恒成立．

由得，方程的两根分别是

，其中，

当时，在上单调递增，，

这与恒成立矛盾．

综上可知：