Question

如图,四棱锥PABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.

(1)求证:AB⊥PD;

(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,问AB为何值时,四棱锥PABCD的体积最大?并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.

Answer 1

 (1)证明:ABCD为矩形,故AB⊥AD;

又平面PAD⊥平面ABCD,

平面PAD∩平面ABCD=AD,

所以AB⊥平面PAD,故AB⊥PD.

(2)解:过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,

连接PG.

故PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG,

在Rt△BPC中,PG=,GC=,BG=.

设AB=m,

则OP==,

故四棱锥PABCD的体积为

V=··m·=.

因为m=

=,

故当m=,

即AB=时,四棱锥PABCD的体积最大.

此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为O(0,0,0),

B(,-,0),

C(,,0),D(0,,0),P(0,0,).

故=(,,-),

=(0,,0),=(-,0,0),

设平面BPC的一个法向量n₁=(x,y,1),

则由n₁⊥,n₁⊥得

解得x=1,y=0,n₁=(1,0,1).

同理可求出平面DPC的一个法向量n₂=(0,,1).

从而平面BPC与平面DPC夹角θ的余弦值为

cos θ=

=

=.