如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求二面角EBFC的正弦值.
(1)证明:法一 过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF.
由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC.
所以∠EOC=∠FOC=,
即FO⊥BC.
又EO⊥BC,
因此BC⊥平面EFO,
又EF⊂平面EFO,
所以EF⊥BC.
法二 由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系.
易得B(0,0,0),A(0,-1,),
D(,-1,0),C(0,2,0).
因而E(0,,),F(,,0),
所以=(,0,-),=(0,2,0),
因此·=0.
从而⊥,
所以EF⊥BC.
(2)解:法一 在图1中,过O作OG⊥BF,垂足为G,连EG.
由平面ABC⊥平面BDC,
从而EO⊥平面BDC,
又OG⊥BF,
由三垂线定理知EG⊥BF.
因此∠EGO为二面角EBFC的平面角.
在△EOC中,EO=EC=BC·cos 30°=,
由△BGO∽△BFC知,OG=·FC=,
因此tan∠EGO==2,
从而sin∠EGO=,
即二面角EBFC的正弦值为.
法二 在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1).
设平面BEF的法向量为n2=(x,y,z),
又=(,,0),=(0,,).
由
得其中一个n2=(1,-,1).
设二面角EBFC的大小为θ,
且由题意知θ为锐角,
则cos θ=|cos<n1,n2>=||=,
因此sin θ==,
即所求二面角的正弦值为.
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若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( )
(A)b⊂α
(B)b∥α
(C)b⊂α或b∥α
(D)b与α相交或b⊂α或b∥α
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.
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如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO、AM的位置关系是( )
(A)平行
(B)相交
(C)异面垂直
(D)异面不垂直
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如图,四棱锥PABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:AB⊥PD;
(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,问AB为何值时,四棱锥PABCD的体积最大?并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.
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若圆x2+y2+2x-4y+m=0(m<3)的一条弦AB的中点为P(0,1),则垂直于AB的直径所在直线的方程为( )
A.x-y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y-1=0 D.x+y+1=0
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若点P是正四面体A BCD的面BCD上一点,且P到另外三个面的距离分别为h1,h2,h3,正四面体A BCD的高为h,则( )
A.h>h1+h2+h3
B.h=h1+h2+h3
C.h<h1+h2+h3
D.h1,h2,h3与h的关系不定
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如图K411所示,正方形ACDE与等腰直角三角形
图K411
ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为( )
A. B.-
C. D.-
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