Question

【题目】已知函数f（x）=x2（lnx+lna）（a＞0）．
（1）当a=1时，设函数g（x）= ，求函数g（x）的单调区间与极值；
（2）设f′（x）是f（x）的导函数，若 ≤1对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若x1 ， x2∈（ ，1），x1+x2＜1，求证：x1x2＜（x1+x2）4 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，数g（x）= =xlnx，

g′（x）=1+lnx，

令g′（x）=0，解得：x= ，

当x∈（0， ）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（ ，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，

∴当x= 时，取极小值为﹣

（2）解：f′（x）=2x（lnx+lna）+x，

= ≤1，

即2lnx+2lna+1≤x，

2lna≤x﹣2lnx﹣1在x＞0上恒成立，

设h（x）=x﹣2lnx﹣1，h′（x）= ，

令h′（x）=0，解得x=2，

当0＜x＜2时，h′（x）＜0，函数单调递减，

当x＞2时，h′（x）＞0，函数单调递增，

∴当x=2，h（x）有最小值，h（2）=1﹣2ln2，

∴2lna≤1﹣2ln2，

∴0＜a≤

（3）证明：由（1）可知：g（x）=xlnx在（0， ）上是减函数，在（ ，+∞）上是增函数，

＜x1＜x1+x2＜1，

∴g（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞g（x1）=x1lnx1，

即lnx1＜ ln（x1+x2），

∴lnx1+lnx2＜（ + ）ln（x1+x2）=（2+ ）ln（x1+x2），

∵2+ ≥4，当且仅当“x1=x2”时，取等号，

x1，x2∈（ ，1），x1+x2＜1，ln（x1+x2）＜0，

∴（2+ ）ln（x1+x2）≤ln（x1+x2），

∴lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2），

∴x1x2＜（x1+x2）4

【解析】（1）当a=1，求得函数g（x）的解析式，求导，g′（x）＜0和g′（x）＞0，求得函数g（x）的单调递减区间和单调递增区间，g′（x）=0，x= ，由函数的单调性可知x= 为函数g（x）的极小值；（2）求得f′（x），将原不等式转化成，2lna≤x﹣2lnx﹣1在x＞0上恒成立，构造辅助函数，h（x）=x﹣2lnx﹣1，求导，根据函数单调性求得h（x）有最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）由（1）可知，根据函数的单调性可知 ＜x1＜x1+x2＜1，可知g（x1+x2）＞g（x1）=x1lnx1 ， 则lnx1+lnx2＜（2+ ）ln（x1+x2），由基本不等式的关系可知2+ ≥4，ln（x1+x2）＜0，即lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2），根据对数函数的性质即可得到x1x2＜（x1+x2）4 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．