Question

【题目】已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为轴，其准线为.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线，对任意的抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据准线方程形式设抛物线标准方程，再根据数值求得，即得抛物线方程；

（2）先根据确定，再借助切线转化条件，即,点到抛物线切线距离大于4恒成立，最后根据二次方程实根分布列不等式解得结果.

（1）由题意可设抛物线C的方程：，则得，所以

（2）由对任意的抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为，得，

设与直线平行的直线，要满足题设条件“对任意的抛物线C上都有四个点到直线l的距离为”，

则有当与抛物线相切时，点到距离大于4恒成立，

由得：

得

点到距离为

所以不等式恒成立，

代入 整理得：，令,

即在上恒成立

所以①得，求得

或②得

所以