Question

【题目】对于函数,若存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:

①;

②;

③;

④.

其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的序号是________.

Answer 1

【答案】②③

【解析】

根据存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”,对四个函数逐一判断,即可得到答案.

对于①,是的可等域区间,但不唯一,故①不成立;

对于②,,且在时递减,在时递增,

若,则,故

又,,而,故,故是一个可等域区间;

若,则,解得,,不合题意,

若,则有两个非负解,但此方程的两解为和,也不合题意,

函数只有一个等可域区间,故②成立;

对于③,函数的值域是,

,函数在上是增函数,

考察方程,由于函数与只有两个交点,,

即方程只有两个解和,

此函数只有一个等可域区间,故③成立;

对于④,函数在定义域上是增函数,

若函数有等可域区间,则,,

但方程无解,故此函数无可等域区间,故④不成立.

综上所述,只有②③正确.

故答案为:②③.