Question

【题目】已知圆的圆心为原点，且与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点为，，求证：直线恒过定点.

（3）求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得，即可得圆的标准方程；
设，求出的值，求出以P为圆心，PA为半径为圆的方程，分析可得直线AB为圆C与圆P的公共弦所在的直线，联立2个圆的方程，即可得直线AB的方程，分析可得结论；
根据题意，设，，在中，可得，由数量积的计算公式可得，结合b的范围分析可得答案．

（1）由题知圆的半径

∴圆的方程为

（2）设点则,

∴

∴圆的方程为：①

又圆方程为：②

由①—②得即为

∴直线方程为：

∴直线过定点

（3）设，则

∴的取值范围是