Question

【题目】已知数列满足：，，且、、成等差数列，其中.

（1）求实数的值和数列的通项公式；

（2）若数列满足等式：（），求数列的前项和；

（3）在（2）的条件下，问：是否存在这样的正数，可以确保恰有5个自然数使得不等式成立？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，.

【解析】

由题意和等差中项的性质列出关于的方程求出,再利用累加法求出数列的通项公式即可.

类比已知前项和求通项公式的方法，由等式，得到

，两式相减得到,利用求出的通项公式,当时,，即可求出.

结合条件对进行分类讨论,当时,利用分离参数法化简得,利用取特殊值和比商法判断出的单调性,进而判断出的单调性,根据条件即可求出正数的取值范围.

因为,,

所以，,

因为、、成等差数列，

所以,即,

解得,,

所以,

以上式子相加可得,,

因为,

所以,即.

因为,

所以，

可得，,

因为 ,所以即，

当时,,

因为数列的前项和为,

所以.

假设存在这样的正数.

因为,所以使不等式成立,

即使不等式成立即可.

因为,所以当时,上式显然成立,

当时,不等式可化为,

当时,;当时,;

当时,；当时,;

令，则，

当时,,则,

所以当时,随着的增大而增大,则随着的增大而减小,

因为使不等式成立的自然数恰有5个，

所以正数的取值范围为.