Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的最值．

Answer 1

分析：由诱导公式、二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)+1=

3

2

+sin(2ωx-

π

6

)
（I）由周期公式可得，T=

2π

2ω

可求ω
（II）由题意可得，g（x）=f（x+

π

6

）═

3

2

+sin(2x+

π

6

)，要求函数g（x）的单调递减区间，只要令

1

2

π+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z可求
（III）由x∈[0，

2π

3

]可得，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，结合正弦函数的性质可求函数的最大值及最小值

解答：解：f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)+1
=

1-cos2ωx

2

+ 

3

sinωxcosωx+1
=

3

2

-

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx
=

3

2

+sin(2ωx-

π

6

)
（I）由周期公式可得，T=

2π

2ω

=π
∴ω=1，f（x）=

3

2

+sin(2x-

π

6

)
（II）由题意可得，g（x）=f（x+

π

6

）=

3

2

+sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]
=

3

2

+sin(2x+

π

6

)
令

1

2

π+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
可得，

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπk∈Z
函数g（x）的单独递减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z
（III）由x∈[0，

2π

3

]可得，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
∴1≤f(x)≤

5

2

故f(x) max=

5

2

，f（x）_min=1

点评：本题主要考查了三角函数的最一般的试题类型：由三角公式对所给的函数进行化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，然后再考查正弦函数的相关性质，属于三角函数的综合应用．