Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）令，是否存在实数，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由；

（3）当时，证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，（3）见解析

【解析】

（1）先求导可得,则可将问题转化为在上恒成立,即在上恒成立,设,求得,即可求解；

（2）先对求导,再分别讨论,,时的情况,由最小值为3,进而求解；

（3）令,结合（2）中知的最小值为3.再令并求导,再由导函数在大于等于0可判断出函数在上单调递增,从而可求得最大值也为3,即有成,，即成立,即可得证.

（1）解:在上恒成立,

即在上恒成立,

所以在上恒成立,

设,则在上单调递减,所以

所以

（2）解:存在,

假设存在实数,使有最小值3,

①当时,,则在上单调递减,

所以,解得（舍去）；

②当时,当,则；当,则,

所以在上单调递减,在上单调递增,

∴,解得,满足条件；

③当时,,则在上单调递减,

所以,解得（舍去）,

综上,存在实数,使得当时有最小值3.

（3）证明:令,由（2）知,,

令,则,

当时,,则在上单调递增,

∴

∴,

即．