Question

如图，在平面直角坐标系中，设点（），直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, 过、分别作直线、，使， .

(1)求动点的轨迹的方程；
（2）在直线上任取一点做曲线的两条切线，设切点为、，求证：直线恒过一定点；
(3)对（2）求证：当直线的斜率存在时，直线的斜率的倒数成等差数列.

Answer 1

(1)．（2）利用导数法求出直线AB的方程，然后再利用直线横过定点知识解决.（3）用坐标表示出斜率，然后再利用等差中项的知识证明即可

解析试题分析：(1)依题意知，点是线段的中点，且⊥，
∴是线段的垂直平分线．∴．
故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．
（2）设，两切点为， 
由得，求导得．
∴两条切线方程为 ① 
②                 
对于方程①，代入点得，，又
∴整理得：
同理对方程②有
即为方程的两根.
∴  ③                            
设直线的斜率为，
所以直线的方程为，展开得：
，代入③得：
∴直线恒过定点.                            
(3) 证明：由（2）的结论，设， ， 
且有，  
∴                  
∴
=  
又∵，所以
即直线的斜率倒数成等差数列.  
考点：本题考查了抛物线与导数、数列的综合考查
点评：解答抛物线综合题时，应根据其几何特征熟练的转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数方法解答，这就要学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理综合思考，重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用