Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，等边的顶点都在上，且点，，按照逆时针方向排列，点的极坐标为.

（Ⅰ）求点，，的直角坐标；

（Ⅱ）设为上任意一点，求点到直线的距离的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）点的直角坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为.

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由点的极坐标和，，的排列顺序，得到点和点的极坐标，再由求出，，的直角坐标即可；

（Ⅱ）由点和点的坐标可得直线的方程，设点，由点到直线距离公式表示出点到直线的距离，再由辅助角公式和三角函数的性质得到的取值范围即可.

（Ⅰ）由题意，等边的顶点都在上，

且点，，按照逆时针方向排列，点的极坐标为，

所以点的极坐标，点的极坐标，

由，

可得点的直角坐标为，

点的直角坐标为，

点的直角坐标为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

所以得的直线方程为：，

设点，

则点到直线的距离为

，

因为，所以，

所以，

.