【题目】为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车120辆，混合动力型公交车300辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加
，混合动力型车每年比上一年多投入
辆.设
，
分别为第
年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，设
，
分别为年里投入的电力型公交车，混合动力型公交车的总数量.
（1）求，，并求年里投入的所有新公交车的总数
；
（2）该市计划用8年的时间完成全部更换，求的最小值.
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
是椭圆上任意一点，
的最小值为
，且该椭圆的离心率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若
是椭圆上不同的两点，且
，若
，试问直线
是否经过一个定点？若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.
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【题目】如图，在直角梯形SABC中，
，D为边SC上的点，且
，现将
沿AD折起到达
的位置（折起后点S记为P），并使得
.
（1）求证：
平面ABCD；
（2）设
，
①若点E在线段BP上，且满足
，求平面EAC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值
②设G是AD的中点，则在
内（含边界）是否存在点F，使得
平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由.
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【题目】如图，在平面直角坐标系
中，己知点
，
，
，
分别为线段
，
上的动点，满足
.
（1）若点恰好与
点重合，求半径为
且与直线
相切于点的圆的方程；
（2）设
，求证：
的外接圆恒过定点（异于原点）.
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【题目】在直角坐标系中，圆
：
经过伸缩变换
，后得到曲线
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
求曲线的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；
在上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．
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【题目】每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南某地区
年10年间梅雨季节的降雨量
单位：
的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
假设每年的梅雨季节天气相互独立，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率．
老李在该地区承包了20亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元
而乙品种杨梅的亩产量
亩
与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为
元
，请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？并说明理由．
降雨量 |
|
|
|
|
亩产量 | 500 | 700 | 600 | 400 |
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【题目】如图，四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
和
是两个边长为2的正三角形，
，
为
的中点，
为
的中点.
（1）证明：
平面
.
（2）在线段
上是否存在一点
，使直线
与平面所成角的正弦值为
？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
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【题目】如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
底面，
是棱
的中点，且
，
．
（1）求证：
平面
．
（2）求二面角
的大小；
（3）如果
是棱
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值．
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