Question

已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切.  
（1）求椭圆C₁的方程；  
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；  
（3）当P不在x轴上时，在曲线C₂上是否存在两个不同点C、D关于PF₂对称，若存在，求出PF₂的斜率范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵∴∴
∵直线相切，
∴∴
∴  
∴椭圆C₁的方程是    
（Ⅱ）∵MP=MF₂，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F₁（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l₁准线，F₂为焦点的抛物线 
∴点M的轨迹C₂的方程为    
（3）显然PF₂不与x轴垂直，设C (,c)，D (,d)，且c≠d，则 =．
若存在C、D关于PF₂对称，则=-    
∵≠0，∴c+d≠0设线段CD的中点为,
则x₀=(+)=,y₀=，
将x₀代入PF₂方程求得：=-( -)=(-)
∵-=-≠1∴ ≠()=y₀
∴线段CD的中点不在直线上．
所以在曲线C₂上不存在两个不同点C、D关于PF₂对称