Question

【题目】已知椭圆的焦距为2，左、右顶点分别为，是椭圆上一点，记直线的斜率为，且有.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，以为直径的圆经过原点，且线段的垂直平分线在轴上的截距为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）依题意，，，设，则有，根据，即可求解的值，得到椭圆的方程；（2）将直线代入椭圆的方程，设，运用韦达定理和中点公式，以及两条直线垂直的条件；斜率之积为，化简整理，解方程求得，进而得到所求直线的方程．

试题解析：（1）依题意，，，

设，则有，即，

，，

，，

即椭圆的方程为；

（2）设，的中点为，

联立得到，

①

，，， ②

因为以为直径的圆经过原点，所以，，，

，，

化简得 ③

将②式代入得到代入①式得到，

由于线段的垂直平分线经过点，，

将②代入得到 ④

联立③④得或1，因为，所以，.

所以直线的方程为.