Question

【题目】已知抛物线（），直线与抛物线交于 (点在点的左侧)两点，且.

（1）求抛物线在两点处的切线方程；

（2）若直线与抛物线交于两点，且的中点在线段上， 的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求出抛物线的方程得到 ，再求导求出切线斜率，最后求出抛物线在两点处的切线方程.(2)第（2）问，先利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求三角形的高，最后写出面积的表达式，再换元利用导数求它的最大值.

试题解析：

（1）由，令，得，所以，解得， ，由，得，故所以在点的切线方程为，即，同理可得在点的切线方程为.

（2）由题意得直线的斜率存在且不为0，

故设， ， ，由与联立，

得， ，

所以， ，

故.

又，所以，所以，

由，得且.

因为的中点为，所以的垂直平分线方程为，令，得，即，所以点到直线的距离，

所以

.

令，则，则，故.

设，则，结合，令，得；

令，得，所以当，即时， .