Question

【题目】如图，在边长为的正方形中，线段BC的端点分别在边、上滑动，且，现将，分别沿AB，AC折起使点重合，重合后记为点，得到三被锥.现有以下结论：

①平面；

②当分别为、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为；

③的取值范围为；

④三棱锥体积的最大值为.

则正确的结论的个数为( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据题意得,折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PAPB、PAPC，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP＝2、BP＝CP＝1，得外接球的半径R＝，由此得三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，故②正确；由题意得，，，在中，由边长关系得，故③正确；由等体积转化计算即可，故④错误.

由题意得，折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PAPB、PAPC，

在①中，由PAPB，PAPC，且PB PC，所以平面成立，故①正确；

在②中，当分别为、的中点时，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三棱锥P﹣ABC的外接球直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP＝2、BP＝CP＝，

得外接球的半径R＝，所以外接球的表面积为，故②正确；

在③中，正方形的边长为2，所以，，，在中，由边长关系得+，解得，故③正确；

在④中，正方形的边长为2，且，则，

所以在上递减，无最大值，故④错误.

故选：C