Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左、右顶点分别为，，过，分别作x轴的垂线，，椭圆C的一条切线与，交于M，N两点，求证：是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

(1)根据椭圆离心率，将点代入椭圆方程，由此即可求出椭圆方程；

(2)由题设知，与的方程联立消去可得，再根据判别式可得，再求出点 的坐标，根据向量的数量积即可证明．

(1)由题意可知得，

故所求椭圆C的标准方程为；

(2)证明：由题意可知，的方程为，的方程为，

直线l与直线，联立可得，，

所以，.

所以.

联立得

因为直线l与椭圆C相切，

所以，

化简，得.

所以，

所以，故为定值

(注：可以先通过计算出此时，再验证一般性)