Question

【题目】如图，在四边形中，，，点在上，且，，现将沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为，

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平几知识得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面角得△PBE为等腰直角三角形，再取BC的中点O，证得PO⊥平面EBCD，建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.

（1）证明：∵ABCD，ABBE，∴CD//EB，

∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴EB⊥PC，且PC∩BC=C，

∴EB⊥平面PBC，

又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面DEBC；

（2）由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，

由PE与平面PBC所成的角为45°得∠EPB=45°，

∴△PBE为等腰直角三角形，∴PB=EB，

∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，

∴PB=2，故△PBC为等边三角形，

取BC的中点O，连结PO，

∵ PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，

以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，

则，，

从而,, ，

设平面PDE的一个法向量为，平面PEB的一个法向量为，

则由得，令得，

由得 ，令得，

设二面角D-PE-B的大小为，则，

即二面角D-PE-B的余弦值为.