Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆在第一象限内的交点是，且轴，.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， 或

【解析】

（1）由题意，先设，，得到，根据，求出，，再由点在椭圆上，得到，求解，即可得出结果；

（2）先假设存在斜率为的直线，设为，由（1）得到以线段为直径的圆为，根据点到直线距离公式，以及圆的弦长公式得到，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理与弦长公式，得到，再由求出，即可得出结果.

（1）设，，

由题意，得

因为

解得，则，

又点在椭圆上，所以，解得.

所以椭圆E的方程为；

（2）假设存在斜率为的直线，设为，

由（1）知，，

所以以线段为直径的圆为.

由题意，圆心到直线的距离，得.

，

由消去y，

整理得.

由题意，，

解得，又，所以.

设，

则

，

若，

则

整理得，

解得，或.

又，所以，即.

故存在符合条件的直线，其方程为，或.