【题目】给出定理：在圆锥曲线中，
是抛物线
的一条弦，
是的中点，过点且平行于
轴的直线与抛物线的交点为
.若
两点纵坐标之差的绝对值
，则
的面积
，试运用上述定理求解以下各题：
（1）若
，所在直线的方程为
，是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线
的交点为，求
；
（2）已知是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为，
分别为
和
的中点，过且平行于轴的直线与抛物线分别交于点
，若两点纵坐标之差的绝对值，求
和
；
（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：
与弦围成成的“弓形”的面积，并求出相应面积.
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）设计方法见详解，
【解析】
（1）由题意，先计算出
，然后直接根据
求解
的值；
（2）根据条件可知，
的面积计算符合定理的计算方法，故可直接利用定理中的计算方法求解
的值；
（3）对“弓形”进行无数次（2）中的操作，每操作一次面积增加的量构成等比数列，因此面积可以写成极限式：
，求此极限的结果即为“弓形”面积.
（1）联立
可得：
，所以
，所以
；
（2）设点
的纵坐标为
，由题意可知
为抛物线
的一条弦，
是的中点，且
两点纵坐标之差的绝对值为
，
由已知的结论可知：
，同理可知
；
（3）如果将（2）中的结果看成是一次操作，将操作继续下去，取每段新的弦的中点做平行于
轴的直线与抛物线得到交点，并与弦的端点连接，计算得到的新三角形面积，操作无限重复下去：
第一次操作：增加的面积为，面积为
；
第二次操作：增加了
个三角形，面积为
；
第三次操作：增加了
个三角形，面积为
；……
由此可知每次新增加的面积构成一个公比为
的等比数列，随着操作持续下去这些三角形逐渐填满整个“弓形”，
所以“弓形”面积为：
.
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
与椭圆
在第一象限内的交点是
，且
轴，
.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为
的直线
与以线段
为直径的圆相交于
，
两点，与椭圆相交于
，
两点，且
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
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【题目】某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→ ，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ．
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【题目】在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”. 已知数列1，2. 第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2； 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为( )
A.88572B.88575C.29523D.29526
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【题目】平面直角坐标系
中，倾斜角为
的直线l过点
，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出直线
的参数方程（为常数）和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与交于
，
两点，且
，求倾斜角的值．
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【题目】设椭圆
：
（
）的右焦点为
，短轴的一个端点
到
的距离等于焦距．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设
、
是四条直线
，
所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，
是椭圆上任意一点，若
，求证：
为定值；
（3）过点的直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且满足△
与△
的面积的比值为
，求直线的方程．
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【题目】地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强．地震预警是指在地震发生后，利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警．通过地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间．2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警报．已知纵波传播速度约为5.5~7千米/秒，横波传播速度约为3.2~4千米／秒，长宁县距成都约261千米，则成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为（ ）
A.51秒B.56秒C.61秒D.80秒
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【题目】已知椭圆
：
的右焦点与短轴两端点构成一个面积为
的等腰直角三角形，
为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点
在椭圆上，点
在直线
上，且
，求证：
为定值；
（3）设点
在椭圆上运动，
，且点到直线
的距离为常数
，求动点
的轨迹方程．
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