Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；

（Ⅱ）过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）由已知，利用代入即可；

（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为（t为参数）代入中得到根与系数的关系，再由，利用直线参数方程的几何意义解决.

（Ⅰ）由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，

故极坐标方程为﹔

（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为（t为参数），

代入，化简得，设所对的参数分别为

，

则，，

且

由，A在E内部，知，

得或，

所以，当时，解得，

当时，解得

所以或.

【点晴】

本题考查普通方程与极坐标方程的互化，以及直线的参数方程的几何意义解决线段长度等问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.