Question

【题目】已知双曲线上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为.

（I）求双曲线渐近线的方程；

（Ⅱ）过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于两点，且，是否存在使得该椭圆的离心率为，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）存在，.

【解析】

（I）设，由可得，进一步得到渐近线方程；

（Ⅱ）设，则PM方程为，联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到，再利用计算即可得到答案.

（1）设，

由，知，

所以，，得，即，

即双曲线渐近线方程为；

（Ⅱ）由，

设，则PM方程为，

由，得；

由，得

又，所以，所以，，

同理可得，，

由是平行四边形，知，

所以，，

即

所以，存在符合题意的椭圆，其方程为.

【点晴】

本题考查椭圆与双曲线的综合运用，涉及到求双曲线渐近线方程以及椭圆的标准方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.