Question

【题目】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；

（2）点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，可得，可求得点坐标，求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积.

（1）

，，

根据离心率，

解得或(舍)，

的方程为：，

即；

（2）不妨设,在x轴上方

点在上，点在直线上，且，，

过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为

根据题意画出图形，如图

，，，

又，，

，

根据三角形全等条件“”，

可得：，

，

，

，

设点为，

可得点纵坐标为，将其代入，

可得：，

解得：或，

点为或，

①当点为时，

故，

，

，

可得：点为，

画出图象，如图

,，

可求得直线的直线方程为：，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，

根据两点间距离公式可得：，

面积为：；

②当点为时，

故，

，

，

可得：点为，

画出图象，如图

,，

可求得直线的直线方程为：，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，

根据两点间距离公式可得：，

面积为：，

综上所述，面积为：.