Question

【题目】如图，三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点旋转后对应的点为（不在平面内），、分别是、的中点.

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接、，利用面面垂直的性质定理得出平面，可得出，利用勾股定理计算出，推导出是以为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出，由此可得出；

（2）由的面积为定值，可知当平面平面时，三棱锥的体积最大，连接、，推导出平面，计算出、以及的面积，然后利用锥体的体积公式可求得结果.

（1）如图，连接、，

因为，是的中点，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，平面，所以．

因为为边长为的正三角形，所以，

又，所以由勾股定理可得，

又，，，

，则，，

所以为直角三角形，且，

又、分别是、的中点，所以，所以；

（2）如图，连接、，

因为三棱锥与三棱锥为同一个三棱锥，且的面积为定值，

所以当三棱锥的体积最大时，则平面平面，

，则，为的中点，则，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

此时点到平面的距离为，

在中，因为，，所以，

所以的最大值为，

所以三棱锥的体积的最大值为．