Question

【题目】如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝3，PC．

（1）求证：EF//平面PDC；

（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点为，连结，，四边形是平行四边形，，平面．

（2）由余弦定理求出，以为原点，在平面内过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

解：（1）证明：取的中点为，连结，，

，分别为、的中点，

，且，

又四边形为平行四边形，，且，

，且，四边形是平行四边形，

，平面，平面，

平面．

（2）平面，四边形为平行四边形，

点，分别为，的中点，，，

．，

，解得，

如图，以为原点，在平面内过作的垂线为轴，

为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则， ， ，

， ， ，

设平面的一个法向量，

，4，，，3，，

则，取，得，

平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，

则．

二面角的平面角的余弦值为．