Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形， , .

（Ⅰ）若是的中点，求证： 平面；

（Ⅱ）若， ，求三棱锥的高.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,中位线 ,且平面, 平面,∴平面；（Ⅱ）由, 可得与底面垂直，在中，设的中点为，连接，则是三棱柱的高，计算出三角形与面积，利用可求得点到平面的距离为.

试题解析：

（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,

中位线 ,

且平面, 平面,

∴平面.

（Ⅱ）在中，设的中点为，连接，则，又，

∴,又∵，

∴，∴ ，解得.

所以点到平面的距离为： .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥的高，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.