Question

【题目】如图，在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AD=CD=4，AD1=5，M是线段B1D1的中点．
（1）求证：BM∥平面D1AC；
（2）求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，

∵AD=4，AD1=5，∴DD1= =3，

以D为原点，DA，DA，DD1分别为xyz轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，

根据题意得A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），

B1（4，4，3），D1（0，0，3），线段B1D1的中点为M（2，2，3），线段AC的中点为N（2，2，0）．

∴ =（﹣2，﹣2，3）， =（﹣2，﹣2，3）．∴ ∥ ，∴BM∥ND1．

∵BM平面D1AC，ND1平面D1AC，∴BM∥平面D1AC

（2）解：∵ =（0，0，3）， =（﹣4，4，0）， =（﹣4，0，3），

设平面D1AC的法向量为 =（x，y，z），

根据已知得 =﹣4x+4y=0，且 =﹣4x+3z=0，

取x=1，可得y=1，z= ，∴ =（1，1， ）是平面D1AC的一个法向量，

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值等于

【解析】（1）以D为原点，DA，DA，DD1分别为xyz轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，由坐标法可证 ∥ ，进而可得BM∥ND1 ． 由线面平行的判定定理可得；（2）设平面D1AC的法向量为 =（x，y，z），根据 =﹣4x+4y=0，且 =﹣4x+3z=0，可求，进而可得cos＜ ， ＞，即得所求．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．