Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程f（x）=2x有两等根，ax2+（b﹣2）x=0有两等根，

∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2，

∵f（x﹣1）=f（3﹣x），∴ =1，∴x=1是函数的对称轴，

又此函数图象的对称轴是直线x=﹣ ，∴﹣ =1，∴a=﹣1，

故f（x）=﹣x2+2x；

（2）解：∵函数f（x）=﹣x2+2x对称轴为x=1，x∈[0，t]，

∴当t≤1时，f（x）在[0，t]上是增函数，∴f（x）max=﹣t2+2t，

当t＞1时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f（a）max=f（1）=1，

综上， ．

【解析】（1）首先根据二次函数f（x）=ax2+bx得对称轴为x=﹣ ，再根据f（x﹣1）=f（3﹣x）可得对称轴为x=1，∴2a+b=0．根据f（x）=2x有两等根，可得∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2（2）求f（x）在[0，t]上的最大值需要对定义域进行讨论：分t＜1和t＞1两种情形．
【考点精析】利用二次函数在闭区间上的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，当时，；当时在上递减，当时，．