Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）若函数存在两个极值点，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，的最大值为，当时，的最大值为1；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，分为，，三种情况，结合导数判断函数的单调性，继而求出最大值.

（2）由函数存在两个极值点可知在上存在两不等的实根，令，从而可知，可求出的取值范围，结合韦达定理可求出，结合令，在上的单调性，可证明.

解：（1）由题意知，定义域为，且，

当时，解得，此时对成立，

则在上是增函数，此时最大值为，

当时，由得，由，

取，则时，；时，，

所以在上是减函数，在上是增函数，又

则当，即时，此时，在上的最大值为；

当，即时，在上的最大值为，

综上，当时，函数在的最大值为，当时，函数在的最大值为1.

（2）要使存在两个极值点，则在上存在两不等的实根，

令，则对称轴为，则，解得，

由韦达定理知，

.

令，，，在上单调递减，

时，，.