Question

【题目】给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有，则称数列为“指数型数列”．

Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”；

Ⅱ若数列满足：，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；

Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）不是指数型数列，是指数型数列；（Ⅱ）数列是“指数型数列”；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

Ⅰ利用指数型数列的定义，判断即可；Ⅱ利用，，说明数列是等比数列，然后证明数列为“指数型数列”；Ⅲ利用反证法，结合n为偶数以及奇数进行证明即可．

Ⅰ解：对于数列，，

所以不是指数型数列．

对于数列，对任意n，，因为，

所以是指数型数列．

Ⅱ证明：由题意，是“指数型数列”，

，，

所以数列是等比数列，，

，数列是“指数型数列”．

Ⅲ证明：因为数列是指数型数列，故对于任意的n，，

有，，

假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设，

则由，得，

所以，

当a为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数，

故不能成立；

当a为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数，

故也不能成立．

所以，对任意，不能成立，

即数列的任意三项都不成构成等差数列．