【题目】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点
，
的距离之比为定值
的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系
中，
，
，点
满足
.设点的轨迹为
，下列结论正确的是（ ）
A.的方程为
B.在上存在点
，使得
C.当，，三点不共线时，射线
是
的平分线
D.在三棱锥中
，
面
，且
，
，
，该三棱锥体积最大值为12
【答案】ACD
【解析】
A．代入坐标表示出线段长度，根据线段长度比值得到
的方程；
B．根据长度关系列出方程，并判断方程是否有解；
C．利用已知条件，以及
的比值，根据角平分线定理的逆定理作出判断；
D．结合题设定义建立合适坐标系，可得
的轨迹是圆，据此分析出三棱锥底面积最大值，由此可得三棱锥体积的最大值.
A．设
，因为
，所以
，所以
，
所以
，故正确；
B．设存在
满足，因为
，所以
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，又因为不满足，
所以不存在
满足条件，故错误；
C．当，
，
三点不共线时，因为，
，
所以
，所以
，由角平分线定理的逆定理可知：射线
是
的平分线，故正确；
D．因为三棱锥的高为
，所以当底面
的面积最大值时，此时三棱锥的体积最大，
因为
，
，取
靠近的一个三等分点为坐标原点
，为
轴建立平面直角坐标系，
所以不妨取
，
，由题设定义可知
的轨迹方程为：
，
所以
，此时在圆的最高点处
，
所以
，故正确.
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【题目】已知椭圆
：
在左、右焦点分别为
，
，上顶点为点
，若
是面积为
的等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知
，
是椭圆上的两点，且
，求使
的面积最大时直线
的方程（
为坐标原点）.
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【题目】如图所示，在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面，AB 1，AP AD 2.
（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）若点M，N分别在AB，PC上，且
平面，试确定点M，N的位置．
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【题目】在四棱锥
中，底面ABCD是边长为6的菱形，且
，
平面ABCD，
，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．
Ⅰ
求证：
．
Ⅱ若
．
求PC与平面BDF所成角的正弦值；
侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足
平面BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，请明理由．
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【题目】给定数列
，若满足
且
，对于任意的n，
，都有
，则称数列为“指数型数列”．
Ⅰ
已知数列，
的通项公式分别为
，
，试判断，是不是“指数型数列”；
Ⅱ若数列满足：
，
，判断数列
是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
Ⅲ若数列是“指数型数列”，且
，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．
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【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)证明：BE⊥平面D1AE；
(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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【题目】已知集合
为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有
成立；②从中任取
个集合都有
成立．
（Ⅰ）若
， 
， 
，写出满足题意的一组集合
；
（Ⅱ）若
， 
，写出满足题意的一组集合
以及集合；
（Ⅲ) 若
， 
，求集合中的元素个数的最小值．
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【题目】已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．
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【题目】某高校随机抽取部分男生测试立定跳远，将成绩整理得到频率分布表如表，测试成绩在220厘米以上（含220厘米）的男生定为“合格生”，成绩在260厘米以上（含260厘米）的男生定为“优良生”．
分组（厘米） | 频数 | 频率 |
[180，200） | 0.10 | |
[200，220） | 15 | |
[220，240） | 0.30 | |
[240，260） | 0.30 | |
[260，280） | 0.20 | |
合计 | 1.00 |
（1）求参加测试的男生中“合格生”的人数．
（2）从参加测试的“合格生”中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取8名男生，再从这8名男生中抽取3名男生，记X表示3人中“优良生”的人数，求X的分布列及数学期望．
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