Question

【题目】设函数f（x）= ，g（x）=lnx+ （a＞0）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若x1、x2∈（0，+∞），使得g（x1）≤f（x2）成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= = ，

令f′（x）=0，解得x=0，2．

列表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

可知：当x=0时，函数f（x）取得极小值，f（0）=0．当x=2时，函数f（x）取得极大值，f（2）=

（2）解：x1、x2∈（0，+∞），使得g（x1）≤f（x2）成立，[g（x）]min≤[f（x）]max，x∈（0，+∞）．

由（1）可得：[f（x）]max=f（2）= ．

g′（x）= ﹣ = （x＞0，a＞0）．

可知：当x=a时，函数g（x）取得极小值即最小值，

∴g（a）=lna+1≤ ．

∴0＜a≤ ．

因此a的取值范围是

【解析】（1）f′（x）= ，令f′（x）=0，解得x=0，2．列表如下，即可得出极值．（2）x1、x2∈（0，+∞），使得g（x1）≤f（x2）成立[g（x）]min≤[f（x）]max，x∈（0，+∞）．由（1）可得：[f（x）]max=f（2）= ．再利用导数研究函数g（x）的单调性即可得出极小值即最小值．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．