Question

【题目】若函数，当时，函数有极值．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）若关于x的方程有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函数的极大值为：，函数的极小值为；（3）.

【解析】

（1）对函数进行求导，根据题意结合原函数的解析式和导函数的解析式进行求解即可；

（2）根据（1）所求的导函数，判断出函数的单调区间，最后根据极值的定义进行求解即可；

（3）把关于x的方程有三个零点，转化成函数图象的交点个数为3，根据（2）画出函数的图象和的图象，利用数形结合进行求解即可.

（1），因为当时，函数有极值，所以有；

（2）由（1）可知；，令，得，

当时，，因此函数单调递增；

当时，，因此函数单调递减；

当时，，因此函数单调递增，所以当时，函数有极大值，其值为，当时，函数有极小值，其值为，因此函数的极大值为：，函数的极小值为；

（3）因为关于x的方程有三个零点，所以函数的图象和的图象有3个交点，函数的图象和的图象如下所示：

因此由（2）所求的极值可知：当时，函数的图象和的图象有3个交点，即关于x的方程有三个零点.