Question

【题目】如图，在斜三棱柱中，，四边形是菱形，.

（1）求证：；

（2）若平面平面，，，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明（2）

【解析】

（1）要证转证平面即证

（2）以射线，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，计算两个半平面的法向量，代入公式，即可得到结果.

（1）证明：取的中点，连接，，.

∵，

∴.

∵是菱形，，

∴，.

∴是正三角形.

∴.

∵平面，平面，，

∴平面.

∵平面，

∴.

（2）解：∵，，

∴是以为底的等腰直角三角形.

∵，

∴.

∴.

∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.

再由（1）得，，两两互相垂直.

分别以射线，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，可得，，，，

∴，.

设平面的一个法向量为，则.

取，得，所以是平面的一个法向量.

同理可得平面的一个法向量.

∴.

∴二面角的正弦值为.