Question

【题目】（1）已知是定义在上的奇函数，求实数、的值；

（2）已知是定义在上的函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝lglgb＝0，解可得b，又由f（x）+f（﹣x）＝0，可得a的值，即可得答案．（2）根据题意，分析可得不等式ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，转化为两个函数y=和y=ax，先求相切的临界情况，再由不等关系，即可得答案．

（1）是定义在R上的奇函数，

则有f（0）＝lglgb＝0，则b，

且f（x）+f（﹣x）＝lg（ax）+lg（ax）﹣2lglg[（x2+2）﹣a2x2]﹣lg2＝lg[（1﹣a2）x2+2）]﹣lg2＝0，

即（1﹣a2）x2＝0恒成立；

可得：a＝±1；

故a＝±1，b；

（2）若f（x）＝lg（ax）﹣lgb为定义在R上的函数，

则ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，

令y=此函数为焦点在y轴上的双曲线的上支，令y=ax,当y=ax与y=相切时，两式联立消去y,得,，故ax恒成立时，﹣1<a<1

即a的取值范围为（-1，1）．