Question

【题目】已知椭圆的左顶点为，离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点与轴交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为的中点.

（i）若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），求出点的坐标；

（ii）射线（为原点）与椭圆交于点，满足，求正数的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）（i）见解析； （ii）.

【解析】

(I)根据椭圆的左顶点为，离心率为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（Ⅱ）（i）假设轴上存在着点使得,设 ，与椭圆方程联立，求得，利用斜率公式，结合可求得；（ii）设所在直线方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线距离公式结合韦达定理求出，再由可得，解方程即可得结果.

(I)由已知得又 椭圆方程为：,

(II) （i）假设轴上存在着点使得,

设所在的直线方程为：，点

由解得，,

，,

，,

,

解得 轴上存在着点 使得 成立,

（ii）设所在直线方程为，则

,

到直线的距离： ,

,

即,,

解得，.