Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若的值域为，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，，单调递减区间为；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，进而可作出函数的图象，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（Ⅱ）先证明出，然后分和，分别证明出当时，和当时，，由此可得出实数的取值范围.

（Ⅰ）当时，，则，令，得.

列表如下：

		极小值

当时，；当时，.

作出函数的图象如下图所示：

由于，作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

（Ⅱ）由题意可知，方程必有解，又，即有解，

设，则.

当或时，；当或时，.

所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，，且，，

作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，当或时，即当或时，方程有解，

下面证明当且时，；当且时，.

先证，设，则.

当时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

所以，.

①当时，若时，则，且函数连续，

当时，，则，

此时，函数的值域为；

当时，若时，，

当时，，当时，，，

又因为函数连续，则.

此时，函数的值域为.

综上所述，实数的取值范围是.