Question

【题目】如图1，在△中， ， ， 分别为边的中点，点分别为线段的中点．将△沿折起到△的位置，使．点为线段上的一点，如图2．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）当时，求直线与平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）在线段上存在中点，使平面．

且（3）

【解析】试题分析：（1）先根据等腰三角形性质得．再由折叠中不变的垂直关系得，根据线面垂直判定定理得平面，即得 ．最后再根据线面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空间向量研究线面平行关系，即通过平面法向量与直线方向向量垂直进行研究，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据平面法向量与直线方向向量数量积为零列式求解参数.（3）利用空间向量求线面角，仍是先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求线面角大小.

试题解析：解：（Ⅰ）

因为，

所以△为等边三角形．

又因为点为线段的中点，

所以．

由题可知，

所以平面．

因为平面，所以 ．

又，所以平面．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面， ，如图

建立空间直角坐标系，则， ，

， ， ， ．

设平面的一个法向量为，

,，

所以即

令，所以，所以

假设在线段上存在点，使img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/14/e30bb3b0/SYS201712291439006281273551_DA/SYS201712291439006281273551_DA.053.png" width="39" height="21" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />平面．

设， .

又，所以．

所以.则.

所以.

解得， .

则在线段上存在中点，使平面．

且

（Ⅲ）因为，又，所以．

所以．又因为，

所以．

因为设直线与平面所成角为，

则

直线与平面所成角为.