Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面PCD⊥平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点.

（1）求证：平面平面PBC；

（2）设二面角的平面角为，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）存在；

【解析】

（1）根据平面与平面垂直的性质易知平面，从而，由三线合一易证，从而平面，即可由面面垂直的判定定理证明平面平面PBC；

（2）在平面内过作交于点，以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并由题意设，表示出平面的法向量和平面的法向量.根据同角三角函数关系式可由求得，结合空间向量夹角运算求得的值，进而确定的值.

（1）四边形是正方形，

∴.

∵平面平面平面平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，点为线段的中点，

∴.

又∵，

∴平面.

又∵平面，

∴平面平面.

（2）由（1）知平面，

∵，

∴平面.

在平面内过作交于点，

∴，故，，两两垂直，以为原点，

以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.

因为，

，∴.

∵平面，则，，

又为的中点，，假设在线段上存在这样的点，使得，设，，，

设平面的法向量为，则

∴，令，则

，则

平面，

平面的一个法向量，，则

∴.

，解得，

∴