Question

【题目】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时， ②函数有3个零点

③的解集为 ④，都有

其中正确命题的个数是（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】A

【解析】

对于①：根据奇函数的性质即可求解；

对于②：先求出当时，函数的零点，利用奇函数的性质，就可以求出当时，函数的零点，由于函数是定义在上的奇函数，所以有。

对于③:分类讨论，当时，求出的解集；当时,求出的解集。

对于④：利用导数，求出函数的值域，就可以判断是否正确。

对于①：当时，有,由奇函数定义可知：，所以

本命题正确；

对于②：当时， ，解得，即，根据奇函数的性质可知，又因为定义域是，所以，因此函数有3个零点，本命题正确；

对于③：当时，，即,解得，；

当时，通过①的分析，可知，当时，即，解得，，本命题正确；

对于④：当时，，，当时，，函数单调递增；当 ，函数单调递减，

的极大值为，

当时，，根据③可知，当时，，当时，，

所以当时，，由于是奇函数时，，

而，所以当时，，即恒成立，本命题正确。

综上所述，有4个命题是正确的，因此本题选A。