Question

【题目】已知函数．

（1）判断函数在点处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

（2）若有最大值，证明：．

Answer 1

【答案】（1）在处的切线过定点，坐标为；（2）证明见解析

【解析】

（1）利用导数的几何意义，求出函数在点处的切线方程，根据过定点的直线系方程的判断方法，即可判断该切线是否过定点；

（2）先求出函数的导数，判断其单调性，求出其最大值为，将需证明的不等式等价变形为，令，构造函数

，利用导数求出其最小值，，即得证．

（1），，切点坐标为，

在处的切线方程为，

即，令，得，．

在处的切线过定点．其坐标为．

（2）由题知，的定义域为．

．

若，则恒成立，在上单调递增，无最大值．

若，令，得（舍）或

当，；当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

故，

即．

若证，可证，令，，

则有，即证．

设，则．

当时，，单调递减；当时，，单调递增，故．，即．