Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，在直线上存在点，使三角形为正三角形，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由离心率得，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合可解得，得椭圆方程；

（2）设直线方程为，与联立方程组，消去，设，，由韦达定理得.设线段的中点为，得直线方程，求出点坐标（此结论对也适用），是等边三角形等价于，由此可把用表示，设换元后，可利用基本不等式求得最值．

（1）设，则，，所以，，

由点在椭圆上得，

，，所以椭圆的方程为.

（2）显然，直线的斜率存在，设其方程为，

与联立方程组，消去，并化简得.

设，，则，.

设线段的中点为，则直线：，令，

又，得点的坐标为，显然当时也符合，

所以.

又因为，

由三角形为正三角形得，

所以两边平方可得

，得.

令，则，当且仅当，即时等号成立，此时，所以的最大值为.