Question

【题目】已知点在椭圆：（）上，且点到左焦点的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为坐标原点，与直线平行的直线交椭圆于不同两点、，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）点A在椭圆上则点A的坐标满足椭圆方程，再由利用两点之间的距离公式列出方程，结合椭圆中a,b,c之间的关系即可求出a,b,c，从而求得椭圆方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得关于y的一元二次方程，利用韦达定理求出、关于m的表达式，由弦长公式求出及点到的距离d，从而求得的面积的关于m的表达式，利用基本不等式可求得最大值.

（1）因为椭圆经过点，所以.

设（），则由得，解得.

又，于是，解得（舍负），进而.

故椭圆的标准方程为.

（2）因为，可设直线的方程为（），

代入并整理得.由得.

设、，则，.

所以.

又点到的距离，所以的面积.

故（当且仅当时取等号）.

所以面积的最大值为.