Question

【题目】已知函数，为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间；

（2）是否存在常数，使恒成立?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）在区间和内都单调递增（2）存在，

【解析】

（1）根据函数解析式，先求得导函数，并构造函数，求得，令，求得的最小值，由可判断，进而判断函数的单调区间；

（2）代入函数的解析式，将不等式变形并构造函数原不等式等价于当时，；当时，.求得，对分类讨论即可求得的取值范围；

（1）定义域为

函数

所以

（且）.

设函数（），

则.

令，解得

当时所以在区间内单调递减，

当时，所以在区间内单调递增.

故在处取得最小值，且，

故当且时，，即.

所以在区间和内都单调递增.

（2）存在，理由如下：

代入函数的解析式，将不等式变形并构造函数（），

则原不等式等价于当时，；当时，.（※）

求导得，其中.

若当时，因为，则必然存在，使在区间内恒成立.

所以在区间内单调递增，于是，这与（※）矛盾，故舍去.

若当时，易知在区间单调递减.

①当时，，所以在区间内单调递减.

于是，从而在区间内单调递减.

故对任意，都有，满足（※）.

②当时，若，则

即在区间内单调递增.

此时，（）.

若，由，及零点存在性定理知，存在，使，

即，且在区间内恒成立，在区间内恒成立.

即在区间内单调递增，在区间内单调递减.

于是当时，（）.

故当时，在区间内单调递减，所以（），满足（※）.

综上所述，存在常数满足条件，其取值范围是.